高考数学题“源于课本，高于课本”，这是历年高考试卷命题所遵循的原则，也是在高考复习中一直所坚持和探求的. 如何理解和贯彻这个原则，笔者认为，通过对课本内容的深挖，对例题、习题重组，就能将课本、资料、高考试题有机地结合起来，从而在课堂上展示知识的发生、发展过程，形成完整的认知过程，去启迪学生思考、顿悟、探究. 在高中数学复习课教学和讲评课中注重变式的训练，这是提高数学复习效率、激发学生对数学学习兴趣和信心的重要途径. 变式既是一种重要的思想方法，更是一种行之有效的教学方式.
■什么是变式教学
1. 所谓变式，就是在引导学生认识事物属性的过程中，不断变更所提供材料或事例的呈现形式，使本质属性保持稳定而非本质属性不断变化，从而产生新的问题情境，诱发学生用不同的方法去思考问题，克服或弱化思维定式思维，激发学习热情，活跃思维方式，改善思维品质（尤其是思维的灵活性），树立创新意识，发展创造能力.
2. 什么是变式教学？变式教学就是对教学内容通过不同侧面进行“单维”的表述，使主体内容呈现形式不断发生改变，在本质内容保持不变的前提下，使外在的表述形式不断发生变化，通过对“单维”的多向表述，呈现“两维”、“三维”或“多维”的问题形态. 比如变更概念中的非本质特征，变换问题中的条件或结论，转换材料的形式或内容，配置实际应用的各种环境或背景复杂化，但概念或问题的本质不变.
■数学变式教学的基本思想
运用不同的知识和方法，借鉴科学家发明创造的思想方法和数学问题的编拟手法，对有关数学概念、定理、公式及课本上的习题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变化，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”中探求规律，逐步培养学生灵活多变的思维品质，增强其应变能力，激发其学习数学的积极性和主动性，提高其数学素质，培养其探索精神和创新意识，从而真正把对能力的培养落到实处. 结合教学实际，进行课堂问题变式应该思考以下问题：
1. 课堂问题变式的数量的确定
问题变式的数量确定是一个首要的问题，原因大致如下：第一，课堂时间有限；第二，即使将数学学习时间拓展到课堂以外，我们仍不可能提供并且教授学生关于某个特定数学内容的所有变式. 数学教学是教会学生通过体验有限变异这样一个过程学会面对未来变异的本领.
2. 课堂问题变式的选取和安排
实际上，这是与问题变式的数量确定紧紧相关的问题，正是因为问题变式的数量有限，所以必须选择好的问题，问题变式安排应该遵循以下基本原则；第一，在问题的外貌特征上，后一问题应与前一问题相近；第二，在问题的内在结构上，后一问题应与前一问题相近；第三，在变异增加的数量上，每一问题应该逐渐增加，一次不宜增加过多；第四，在变异增加的内容上，应该从简单到复杂，从具体到抽象.
■复习课数学变式教学的实施
1. 概念的变式
复习课的一个重要任务，就是与学生一起回顾本专题的知识内容，使学生重温知识的内在联系，建立知识结构，为创新学习打下坚实的知识基础. 在知识归析环节中，教师活动体现在：（1）设计针对性、启发性强的问题，激发学生回顾旧知识的兴趣；（2）引导学生建立知识结构. 学生活动体现在：主动参与、积极回顾、探究所学知识的内在本质联系，建立明晰、稳固的知识体系，使所学知识在回顾与反思中得到进一步升华. 数学基本概念的变式往往从引入、鉴别、巩固、深化和扩张几个阶段着手.
案例1：函数单调性定义的引入，安排在必修1中. 要求掌握单调性的直观图形，理解单调性的定义，通过大量的具体函数，理解单调性在研究函数中的作用. 复习课教学应定位在巩固、深化概念，理解、应用定义，提升教材，开发能力上. ①单调性与函数图形有密切联系，了解了单调性，就可以基本上决定函数图形的形状（画图）；反之，掌握了函数的图形，也就能很好地了解函数的单调性（用图象法求函数的单调区间）；②单调性与不等式联系密切. 单调性是用不等式来描述的，反之，具体函数的单调性反映了一些不等关系.例如：设函数y=f（x）的定义域为A，区间I？哿A，对于区间内的任意两个值x1，x2，给出三个论断：（1）x1f（x2））；（3）函数y=f（x）在区间I上是单调增（减）函数. 以其中两个论断作为条件，余下一个作为结论，请写出你认为正确的命题结论：
（1）（2）？圯（3）判断或证明函数单调性；
（3）（1）？圯（2）比较函数值的大小；
（3）（2）？圯（1）解抽象不等式.
③教学中，不应只停留在直接应用定义这一层面上，应通过典型例题的选取，进行变式等创设，提升例题的功能，开发学生的解题能力.
2. 习题的变式
（1）精选范例
复习课所选的范例应具有针对性（针对复习专题的内容和学生的实际情况而选，起点要低，要面向全体学生）、典型性（为巩固“三基”而选，对某个知识点、某种方法、某种思想的训练有代表性，能起到以点代面的作用）、灵活性（解法多样、题型易变、易于实施变式教学）、综合性（体现所复习专题的知识、方法在本学科及其他学科中的应用）、层次性（即范例的选排、变式题的探索要有层次性，如由基础到技巧、由简单到复杂、由单一到综合等）.
在此环节中，教师活动体现在：选择符合上述要求的题目，为学生创设广阔的探索空间. 学生活动体现在：自主审题，为实施解法变式、题目变式作好情感准备.
（2）解法探究
通过对范例实施解法变式，追求一题多解，解法优化，培养学生的灵活性.
案例2：已知a，b为正数，且ab=a+b+3，求ab的取值范围.
解法1：ab=a+b+3≥2■+3，所以■≥3，ab≥9.
解法2：设ab=k，则a+b=k-3，a，b是x2-（k-3）x+k=0的两根，Δ=（k-3）2-4k≥0，k≥9或k≤1. 又a+b>0，所以ab=a+b+3>3，故ab≥9.
解法3：a=■. 因为a>0，所以b-1>0. ab=■=（b-1）+■+5≥9.
案例3：求证：■=tanθ.
证法1：（运用二倍角公式统一角度） 左=■=■=右.
证法2：（逆用半角公式统一角度）
左=■=■=右.
证法3：（运用万能公式统一函数种类）
设tanθ=t，则左=■=■=t=右.
证法4：tanθ=■，左=■=■=右.
证法5：（可用变更论证法）只要证下式即可.
（1-cos2θ+sin2θ）sin2θ=（1+cos2θ+sin2θ）（1-cos2θ）.
证法6：由正切半角公式tanθ=■=■.
在解法变式环节中，教师活动体现在：（1）引导占据.当学生探索解法遇到困难时，诱导、点拨；（2）评价鼓励. 对学生探索得到的求解思路或方法评价，以增强学生的探索信心和精神，激发探索欲. 学生活动体现在：①自主探索解法，求得问题解决；②求新求异，多角度思考问题，多渠道寻求解决问题的方法；③相互交流，相互启发，扩大探索成果；④自主总结各种解法的规律与技巧，形成解题技能.
（3）探索变式
复习课所说的“变式”，与新课教学模式中所谈的“变式”相比，更加深、广，即变式题目新，知识渗透深，方法应用广.
案例4：已知△ABC的一边的两个顶点B（0，6）和C（0，-6），另两边的斜率之积是-■，求顶点A的轨迹.
一般学生能比较容易地运用求轨迹方程的直接法求得轨迹是椭圆■+■=1（去掉点（0，6），（0，-6））.
①探索规律，变式推广，深化认知结构
学生解题后，教师引导学生对条件和结论进行观察，得到：
（ⅰ）定值■与结论中的36，81存在关系：■=■ ；
（ⅱ）定点B（0，6）和C（0，-6）是椭圆■+■=1短轴的两个端点.
由此猜测得到：
变式1：过两定点（0，b）和（0，-b）的两相交直线的斜率之积是-■，求交点的轨迹.
易求得结果为■+■=1（除去（0，b），（0，-b）两点）.
引导学生将定点改为（a，0），（-a，0），得到：
变式2：过两定点（a，0）和（-a，0）的两相交直线的斜率之积是-■，求交点的轨迹.
学生解答，仍得结果为■+■=1（除去（a，0），（-a，0）两点）.
由此，教师启发：两定点发生改变，而轨迹不变，给我们什么启示？引导学生观察两定点的位置关系——关于原点对称，于是产生更大胆的猜测：是否只要关于原点对称，所得轨迹就是椭圆呢？于是得到变式3：
变式3：设B（acosθ，bsinθ），C（-acosθ，-bsinθ），当动点P（x，y）与B，C的连线的斜率之积等于-■时，求动点P的轨迹.
引导学生给出解答，结果为：动点A的轨迹是椭圆■+■=1（除去B，C，（-acosθ，bsinθ），（acosθ，-bsinθ）四点）.
点评：在问题解决的过程中，启发、引导学生由浅入深、步步深化，善于透过现象看本质，发现规律性，达到深化学生认识、培养学生优良思维品质、发展学生能力的目的.
②探索问题的逆命题，完善认知结构
记条件（ⅰ）：定点B（acosθ，bsinθ），C（-acosθ，-bsinθ）；
记条件（ⅱ）：点P与B，C两点连线的斜率乘积为-■；
记条件（ⅲ）：点P是椭圆■+■=1上的点.
则变式3的命题结构为（ⅰ）（ⅱ）？圯（ⅲ），作逆向变式，引导学生探究上述命题的逆命题是否成立，则可得到：
变式4：设B（acosθ，bsinθ），C（-acosθ，-bsinθ）是椭圆■+■=1上两个定点，P是该椭圆上的一个动点，求证：kPB·kPC= -■（定值）.
变式5：设P是椭圆■+■=1上的一个动点，B，C是该椭圆上两个定点，若kPB·kPC=-■，求证：点B，C关于椭圆中心（原点）对称.
点评：引导学生探索命题的逆命题，可使学生从正、逆两个方面完整地认识椭圆的性质，形成完整的知识结构. 同时，在探索逆命题的过程中，不断克服思维的单向性，培养和发展思维的整体性和双向性.
③类比推广，扩大成果
在完整地认识了椭圆的有关问题后，教师把握好时机，适时抛出范例2，引导学生继续探索，将椭圆的有关性质类比到双曲线，实现知识迁移，要注意运用激励性语言，鼓舞学生的斗志，使学生一鼓作气完成探索.
类比推广：△ABC一边的两个端点B（0，6）和C（0，一6），另两边斜率的积是■，求顶点P的轨迹.
易求得P的轨迹是双曲线■-■=1.
点评：问题推广，可以扩展学生对问题认识的广度，更为重要的是让学生用类比进行科学发现.
在探索变式环节，教师活动体现在：（ⅰ）诱导启发，创设情境，激发学生探索，适时引导、点拨，指引学生探索的方向（如引导学生进行条件变式、结论变式、等价变式、逆向变式、拓展变式等）；（ⅱ）及时评价，鼓励学生的探续探索的勇气. 学生活动体现在：通过独立探索、小组讨论、集体交流等方式，全员思维，最大限度地探索题目的各种变式.
④问题解决
对范例变式得到的数学问题，难易程度不同，应采取灵活多样的解决策略，如详解、略解，课下练习、书面作业，课下思考讨论等. 在此环节中：教师活动体现在：（ⅰ）对变式题的分类处理，确定哪些题目课上解决，课下思考；（ⅱ）引导点拨，适时启发. 引导学生解题的方向，点拨可面向个体，注意因材施教；（ⅲ）适时作鼓励性评价. 学生活动体现在：自主探索，按教师要求，探求规定题目的求解策略；相互探讨，对不能自主解决的问题，学生之间、师生之间相互探讨试题规律，进行方法的积累与总结.
⑤总结升华
师生共同完成总结. 一是对解题方法、规律的总结进行升华，对课堂上的方法加以梳理、概括，纳入知识方法体系；二是对研究问题的方法加以总结，探究学习的方式、方法，并逐步使之成为学生的自觉行为.
变式教学的实践说明它的确是一种提高课堂效率的有效途径，同时更有利于学生思维的提升和解决问题能力的提高，能关注学生个体的发展，符合新课程的教学理念. 在新课程背景下，教师需以现代数学教育理论、素质教育创新观、创造性思维教学理论为指导，通过实践研究，逐步形成行之有效的教学方法和教学风格. |
