数列是高中数学非常重要的内容，也是每年高考必考的知识点，所以如何学好数列是每个学生迫切需要解决的问题.众所周知，方程思想是高中数学一种重要的数学思想，函数与方程可以相互转化，即函数的一些问题可以用方程思想来解决，而数列是一种特殊的函数，所以数列的一些问题也可以利用方程思想来处理.
一、求数列的项
例1.设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，求数列{an}的首项.
解：设数列{an}的首项为a1，由题设可知：a1+a2+a3=12，因为{an}是等差数列，所以a1+a3=2a2，代入上式可得：a2=4，则，a1+a3=8， ①
又由题设可知：a1a2a3=48，则a1a3=12， ②
则①②知，可把a1、a3看作方程x2+8x+12=0的两个实根.
解得x1=2，x2=6.或x1=6，x2=2.
又{an}是递增等差数列，则a1<a3，所以a1=2. 点评：根据韦达定理来构造一元二次方程要注意根与系之间的关系，特别是符号的正负问题.
例2.数列{an}中，相邻两项an，an+1是方程x2+3nx+bn=0的两根，若a10，=-17，求b51.
解：由题意得an+1+an=-3n ①
an+1an=bn ②
由①得：an+2+an+1=-3（n+1） ③
③-①得：an+2-an=-3，则a52=a10+×（-3）=-80.
所以a11+a10=-30，又a10=-17，则a11=-13.
故a51=a11+×（-3）=-73，进而得b51=a51a52=-73×（-80）=5840.
点评：已知数列相邻两项与项数的关系可以由阶差法来构造一个高一阶或低一阶的方程，进而作差可求出该数列或部分数列的通项，最后所求问题就迎刃而解了。
二、求数列的通项
例3.已知数列{an}的前n项和为Sn，，且a1=0，an+1+Sn=n2+2n（n∈N+），求数列{an}的通项公式.
解：因为an+1+Sn=n2+2n（n∈N+） ①
用n-1替换①式中的n，可得：an+1+Sn+1=（n-1）2+2（n-1）（n≥2） ②
①-②得：an+1-an+Sn-Sn-1=n2-（n-1）2+2n-2（n-1）
即an+1=2n+1，进而可得：an=2（n-1）+1=2n-1（n≥2）
当n=1时，a1=1，而S1=0，则a1≠S1，所以an=0（n=1）
2n-1（n≥2）
点评：给出数列的an与Sn的递推关系来求数列的通项，通常用n-1（或n+1）替换递推式中的n而得到另一个等式，此方法称为构造方程组法，又叫阶差法.
例4.设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）a2n+1-na2n+an+1an=0，求an.
解：由已知条件因式分解可得：[（n+1）an+1-nan]（an+1+an）=0
因为数列{an}是正项数列，所以an+1+an≠0，则（n+1）an+1-nan=0，即=，
由累积法可知：×××…×=×××…×，即=，又a1=1，所以an=.
点评：若给出数列中任意相邻两项的齐二次式方程时，因式分解是首先的方法.
三、求数列的前n项和
例5.求数列1，3a，5a2，7a3，…，（2n-1）an-1的前n项和.
解：当a=0时，Sn=1.
当a=1时，Sn=1+3+5+7+…+（2n-1）=n2.
当a≠1时，Sn=1+3a+5a2+7a3+…+（2n-1）an-1 ①
由①式两边同乘以a，得aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+（2n-3）an-1+（2n-1）an ②
①-②：得（1-a）Sn=1-（2n-1）an+2a+2a2+2a3+…+2an-1
=1-（2n-1）an+，
所以，Sn=+，
综上所述，Sn=1（a=0）
n2（a=1）
Sn=
+
（a≠1）
点评：对于含字母的此类问题，首先要讨论字母为0或1的情况；当字母不为1时，数列较复杂，利用乘公比错位相减法求.
例6.数列{an}的前n项和为Sn，以an，Sn为系数的二次方程x2-4Snx+an+4=0都有根α，β，且满足+=1，求an与Sn.
解：由韦达定理知：α+β=4Sn，又αβ=an+4，又+=1，即α+β=αβ，所以4Sn=an+4 ①
用n-1替换n可得：4Sn-1=an-1+4（n≥2） ②
①-②：得：4an=an-an-1（n≥2），即=-（n≥2），
可知数列{an}是以a1=为首项，q=-为公比的等比数列，
所以an=a1qn-1=×（-）n-1，代入①可得4Sn=×（-）n-1+4，则Sn=（-）n-1+1.
点评：上述求数列通项用了阶差法，这里要注意的是求数列的前n项和，其过程是利用①式的等价关系进行代入而求得，另外也可以利用等比数列的前n项和公式去求得.
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