【摘要】泊松过程是统计模拟中的一个重要内容，本文以泊松过程为例，说明泊松过程在排队论中的应用，并给出随机模拟的过程。
【关键词】泊松过程 随机模拟 排队论
【基金项目】北方民族大学教学研究项目（JYYB201530）。
【中图分类号】O212.1 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）09-0214-01
统计模拟[1]是统计中很有用的工具之一， 它是利用计算机产生某概率模型的随机数模拟真实模型.为了有利于学生理解和掌握这些随机模拟方法，就需要结合实际中的例子引入这些方法，同时用软件完成模拟计算。下面以泊松过程为例，谈谈在统计模拟教学中的一些教学思路。
1.泊松过程[1]
泊松过程是应用广泛的一类随机过程，常用来描述排队系统中顾客到达的过程。
若随机变量N（t）表示某事件在时间[0，t）内发生的次数，则称{N（t），t≥0}为一个随机过程。
定义1 若随机过程{N（t），t≥0}满足条件
①N（0）=0;②具有独立增量;③在任何长度为t的时间内，事件发生的次数服从参数为？姿t的泊松分布，则称上述过程是强度为？姿的泊松过程。
2.泊松过程在排队论中的应用
2.1排队论基本知识
排队论[2]是研究系统由于随机因素干扰而出现排队现象的一门学科，一般的排队系统由三个部分组成：输入过程、排队规则和服务机构。实际生活中常遇到例如银行排队、超市购物付款排队等这样的并列多服务台单队排队系统，可表示M/M/s为模型.它是指输入过程为泊松输入、服务时间服从指数分布、共有s个服务窗口的排队系统模型。
现对此类模型的一些指标符号作下述规定：L：平均队长;Lq：平均列队长;Ws：平均逗留时间;Wq：平均排队等待时间;P0：系统平衡时所有服务台空闲的概率;？姿：顾客到达的平均速率;？滋：平均服务速率;？籽：服务强度，有？籽=（？籽≤1）.
从状态间的转移关系分析M/M/s模型[2]，可求得各指标如下：
L=Lq+;Lq=p0;Ws=;Wq=
2.2 泊松过程的随机模拟原理
当随机过程是强度为？姿的泊松过程时，其点间间距是相互独立且服从参数为？姿的指数分布的随机变量，于是模拟泊松过程到达的时间间隔公式为[1]
ti=-lnui，ui～U（0，1），i=1，2，….
2.3 等待制排队模型的模拟
系统变量如下：
t-时间变量，tA-顾客到达时间，tD-顾客离开时间，NA-t时刻到达顾客总数，n-t时刻当前到达的顾客数，T-总服务时间.wt-发生事件的时间，wn-顾客数，ws-上一事件到下一事件的间隔时间。
模拟算法：
（1）初始步：置t=NA=0，产生顾客到达初始时间T0，置tA=T0，tD=∞，置k=0;
（2）记录系统状态：置k=k+1，wt（k）=t，wn（k）=n.若tA<t，置w2（k）=min（ta，td）-t，然后转（3）;否则置w2（k）=0， ="" td="∞tD-t，" td<∞，然后转（8）;="" （3）若tA<td，置t=ta，na=na+1，n=n+1，产生下一顾客到达时间ta; （4）若n=1，产生tD;
（5）若tA≥tD，置t=tD，n=n-1;
（6）若n=0，置tD=∞;否则产生TD;
（7）转（2）;
（8）此时tA≥T. 若n>0，置t=tD，n=n-1.产生tD，然后转（2）;否则转（9）.
（9）计算输出L，Ws和顾客等待的概率Pwait：
L=ws（k）·wn（k），
Ws=ws（k）·wn（k），
Pwait=ws（k）.
按照上述算法编写R程序，使用时直接调用。
例1：某修理店只有一名工人，来修理的顾客到达过程为泊松过程，平均每小时4人，修理时间服从指数分布，平均需要6分钟。试用模拟的方法求该系统的L，Ws和Pwait.
解：调用程序queue1.R，输入参数，模拟1000小时的排队服务系统的运行情况，
> source（“queue1.R”）
> queuel（lambda=4，mu=10，T=1000）
L Ws Pwait
0.6938313 0.1685005 0.4118629
计算理论值：
L===0.6667（人），Ws===0.16667（小时），
Pwait===0.4.
可以看出，模拟值与理论值很接近。
3.结论
本文通过泊松过程的定义，对泊松过程的随机模拟及其在排队论中的应用进行了论述，以此提高学生的理解和运用能力。
参考文献：
[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004.
[2]钱颂迪，顾基发，郭耀煌.运筹学[M].北京：清华大学出版社，2005.
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