开放性习题与发散性思维

2013-12-08 |  所属栏目:新课程来稿 |  点击:次

何增孝 【摘要】：新课标中对学生发散性思维的培养也提出了相应的要求，鉴于此，新的教科书中，近几年的中考试题中，都出现了不少符合学生的年龄特点和认知水平、题型新颖、个性独特的开放性问题。这些问题的出现，给学生提供了自主探索的机会，使学生能经历探索思考的过程，理解数学问题是怎么提出的，数学知识是怎么形成的。对学生发散思维和创新能力的培养，提供了很好的素材。 【关键词】：发散思维条件开放创新能力 在传统的教育观念下，对数学学习质量的考察与评价所设计的内容及方法，往往都是围绕着固定的题型、程序化的解题策略、预定的答案而进行的。这虽然有利于形成思维上的定势或求同思维的培养，但却忽略了求异思维和发散思维能力的培养，不利于培养学生的创新意识和创造能力。显然，这种忽视多数学生创造能力培养的评价考察是与素质教育是相悖的。 新课标中对学生发散性思维的培养也提出了相应的要求，鉴于此，新的教科书中，近几年的中考试题中，都出现了不少符合学生的年龄特点和认知水平、题型新颖、个性独特的开放性问题。这些问题的出现，给学生提供了自主探索的机会，使学生能经历探索思考的过程，理解数学问题是怎么提出的，数学知识是怎么形成的。对学生发散思维和创新能力的培养，提供了很好的素材。 1.以条件开放型习题来培养学生发散性思维的变通性 所谓条件开放型问题，就是有给定的结论，探索应具备的条件的开放性问题。它要求学生变换思维的方向，逆溯求源，推理应该具备的条件，进而进行解答。这是一类开拓逆向思维能力，打破常规的好题型。 例1．△ABC中，D是边AC上的一点，要使△ABC∽△BDC，必须具备的条件是。 分析：如图1，易知△ABC和△BDC已经有一对公共角∠C， 现在要使△ABC∽△BDC，逆向思维探索：还需要再有 一对角对应相等或夹∠C的两边对应成比例，从而得到答案。 评述：此题打破常规，不是已知条件求证相似，而是需要 追根溯源，反思探索，冲破习惯思维的束缚，才能奏效。 2.以结论开放型习题来培养学生发散思维的广阔性图1 所谓结论开放型问题，就是从同一条件出发，探索多种不同的结论。要求学生从已知条件出发去探索所有隐藏的数量关系或位置关系等并说明理由。这类问题着力考察学生分析、归纳、综合、推理等诸多能力。 例2．如图2，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。 （1）如果围成的面积为45平方米的花圃，的长是多少米？ （2）能围成的面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大的面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。 分析：第（1）小题用一元二次方程的知识不难解决； （2）设围成的花圃的面积为S平方米，宽AB=x米， 则长BC=(24—3x)米。 那么，S=x(24—3x)=—3x2+24x，由二次函数的知识可 得，当x=4（米）时，S的值最大，S的最大值是48平方米，图2 大于45平方米，符合题意。 评述：本题利用了二次函数的知识来解决方程的问题，思维跨度较大，对学生的要求较高，同时对发散思维的培养训练是很有帮助的。 3．以策略开放型习题来诱导学生步入发散性思维的空间 所谓策略开放型问题，就是多种策略或策略优化问题，它是从同一条件出发，放射出多种策略或最优策略，也就是要求学生从题设出发，去探索结论成立的多种途径或最优途径。创造学认为，学生如果提出的方法与教师、教材介绍的方法不相同或持有不同的观点，就是创新的表现。 例3．请用你认为较简单的方法计算： 学生做这一题时，出现了以下几种具有代表性的方法： 方法1.直接通分，相加后再约分。 方法2.原式=（）×60×=50×= 方法3.原式=(1—=1— 评述：这里方法1是常规的方法；方法2实际上也并不比第一种方法简单，但它提出了与常规不同的方法，并且体现的是一种化归的思想；方法3转化为一些互为相反数的和来计算的，显然比前两种方法更简单、更新颖，不过只有数感较强、创造性较高的学生才会想出。 4．以存在开放型习题来培养学生发散思维的逻辑性 “存在性”的开放型的问题是开放型命题的热门形式，而且是一类综合性强、覆盖面大、已知条件更加隐蔽的题型。他着力要求学生把握特征，拨开迷雾，避开暗礁，从而对是否存在做出准确的判定和正确的推断。 例4．如图3，AB为⊙O的直径，AB=6，P为AB上的一点，过点P作⊙O的弦CD，连接AC、BC，设∠BCD=m∠ACD 当时，是否存在正实数m，使弦CD最短？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由。 分析：假设存在正实数m，使弦CD最短，则CD⊥AB，垂足为P， 从而cos∠POD=，而已知，AB=6 所以可得AP=，OP=，所以cos∠POD=， 则∠POD=30°，于是∠ACD=15°，∠BCD=75°故m=5. 评述：此是难度较大的开放型题，大多学生感觉难以入手。图3 其实，这种题型的一般解法思路是：假设“存在”——推理——得出结论（合理或矛盾）。这样的题型对思维的层次要求较高，灵活但不超纲，很能锻炼学生的思维能力。 5．以变换开放型习题来培养学生发散思维的严密性和规律性 变换开放型问题的特点往往是对已有的形状进行演变，如特殊变化为一般，它要求学生大胆地猜想，科学地分析，从而解决问题，对发展学生思维的发散性和灵活性大有好处。 例5．如图4（1）AD是圆的直径，BC切圆于D，AB、AC交圆于E、F，那么显然有结论：AE.AB=AF.AC. 在图4（1）中，如果把直线向上平移， 使它与圆相交，其他条件不变，得图4（2）， 此时结论AE.AB=AF.AC是否成立？ 若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由。 分析：如图4（2）连接DE、EF， 由已知易证∠AFE=∠ADE=∠B，(1)(2) 所以△AEF∽△AC从而AE.AB=AF.AC显然成立图4 评述：本题实质上是从特殊到一般的推广性命题，与传统的命题比较，它不仅检测了学生思维发散与凝聚的能力，更重要的是给出了数学分析的思想和方法。 作者单位：江苏省洪泽县岔河中学