摘要：利用微元思想可以把一个比较复杂的物理问题运用我们所熟悉的物理规律加以方便有效的解决，可以把复杂问题简单化.有利于拓展学生的视野，引导学生对物理规律向更深更广的角度思考，这样可以很好的发展学生的思维能力，培养学生的独创精神.本文试图从多个方面探究物理新课堂中微元思想应用的价值体现。 微元法是将研究对象或物理过程无限分割成若干个微小单元，从其中任取某一微元进行讨论分析，从而找出被研究对象或被研究过程的物理规律的一种思想方法，然后再将“微元”进行必要的数学方法（如累加，忽略高阶小量等）进而使问题求解.
简单的说，微元的基本功能就是“化变为恒”或“化曲为直”，其核心理念就是无限分割逐渐逼近.
要理解并能熟练运用微元思想解决物理问题就要认真体会物理教材中的微元思想的应用.
1由平均值研究瞬时值的方法——无限分割逐渐逼近
1.1人教版第一章第三节用平均速度研究瞬时速度
根据平均速度的定义知：=ΔxΔt，可见时间t越短，平均速度就越能精确反映物体运动的快慢，而xt就是x-t图象（图1）中割线（虚线）的斜率（比率）.但Δt趋向零时，割线也趋向于图象的A点（t1时刻）的切线.所以在x-t图象中切线的斜率（变化率）表示某时刻的瞬时速度.
1.2人教版必修二第五章第六节用平均加速度的方法研究瞬时加速度
由图2 可以看出把圆弧分的段数越多，圆弧就越接近于弦（化曲为直），圆弧的长度就越接近于对应的弦，那么分无数段，可认为某一微元的弧和弦重合.
由图3-丁可以看出三角形OAB和由Δv，vA和vB组成的矢量三角形相似.
所以vr=Δvv·Δt（弧长=线速度乘以时间即v·Δt），
解出Δv=v2·Δtr.
由A=ΔvΔt可以导出向心加速度的表达式为an=v2r.
还可以怎么做？把弧长=rθ代入，可以推出an=vω再由v=rω得an=rω2或an=v2r.
向心加速度的方向怎么研究？分得越细，θ越小，底角越接近90°，所以Δv⊥vA 或Δv⊥vB，即向心加速度始终指向圆心.
2微元累加思想的应用研究
2.1人教版必修一第二章第三节利用v-t图象研究物体的位移——化变为恒
如图4所示，在其中某个极短时间（一个微元过程）内可把变速运动看成是匀速直线运动（化变为恒），则该微元的位移xi=viΔt即矩形“面积”，由于每个微元过程内的运动规律均是相同的，所以可以对全程进行累加即∑xi=∑viΔt，各微元Δt内的位移之和也就是所有矩形“面积”之和.从图4的四个图的思维过程可以发现：如果时间分得越细各矩形“面积”之和就越接近物体的位移.可以推理若把时间分成无限份，它的“面积”之和就是物体的位移.
同样通过分析可知a-t图象的面积表示这一过程的速度变化；F-x图象的“面积”（∑FΔx）表示这一过程力所做的功，可用此法研究弹簧的弹性势能的表达式；教科版3-1第一章第6节利用i-t图象求电量.在非线性问题中“面积”的物理意义不变.
2.2人教版必修二第七章第4节研究重力做功的特点——化曲为直如图5，一质量为m的物体由高h1的位置竖直下落到高为h2的位置，这一过程重力对物体做功是WG=mgh=mgh1-mgh2.若物体沿斜面从高度h1降为h2，沿斜面运动的距离是l，则这一过程重力对物体做功是WG=mglcosα=mgh=mgh1-mgh2.可看出在这两种情况下虽然物体运动的路径不同，但高度的变化是一样的，重力做功也是一样的.若物体沿一任意路径从高度h1降为h2呢？可以把整个路径分割成无数小段，每一小段看成是倾斜直线，其高度差分别为Δh1，Δh2，Δh3，….在每一小段（微元）内重力做功为mgΔh1，mgΔh2，mgΔh3，…；全程重力做功就是各小段做功的代数和：WG= mgΔh1+mgΔh2+mgΔh3+…=mg（Δh1+Δh2+Δh3+…）=mgh.综上所述，重力做功的特点是：跟运动的路径无关只取决于初末位置的高度差.人教版3-1第一章第4节探究静电力做功的特点时所用的方法是一样的，均是先微元再累加.
2.2应用研究
例1从地面上以初速度v0竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图5所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v1，且落地前球已经做匀速运动.求：（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；（2）球抛出瞬间的加速度大小；（3）球上升的最大高度H.
解析（1）、（2）略.
（3）方法选择：解决动力学问题有两个思路，一为牛顿运动定律和运动学公式，二为动能定理.
法一应用牛顿运动定律和运动学公式解题
研究过程的微元：设微元过程的极短时间为Δt，其速度变化为Δv，化变为恒（把全程的变加速运动在微元过程内看成是匀加速直线运动）
设上升至速度为v时加速度为a，则由牛顿第二定律得
-（mg+kv）=ma，a=-g-kmv，
由运动学公式得
Δv=aΔt=-gΔt-kmvΔt，
累加：上升全过程
∑Δv=-g∑Δt-km∑Δh
（vΔt=Δh，把定值提取出来）
0-v0=-gt1-kmH，
解得H=（v0-gt1）v1g.
法二应用动能定理解题
在某一微元过程x - x+Δx，速度变化v-v+Δv，
-mgΔx-kvΔx=12mv2-12m（v-Δv）2，
-mgΔx-kvΔx=12mv2-12m[v2-2vΔv+（Δv）2）]，
mgΔx+kvΔx=m（vΔv） 【忽略高阶小量（Δv）2】
mgΔxv+kΔx=m（Δv），
累加：∑mgΔxv+∑kΔx=∑m（Δv），
mg∑Δxv+k∑Δx=m∑（Δv），
mgt1+kH=mv0，
解得H=（v0-gt1）v1g.
点评本题运用了对研究过程的微元Δv=aΔt、Δx=vΔt，累加运用了vt-v0=∑aΔt，x=∑vΔt .有恒力的微元必须已知时间.一般用法一较简单.
例2如图6，水平放置的导体电阻为R 与两根光滑的平行金属导轨相连，导轨间距为L ，其间有垂直导轨平面的、磁感应强度为B的匀强磁场.导轨上有一导体棒ab质量为m以初速度v0向右运动.求：（1）导体棒将做什么运动？（2）能否求出这个过程的总位移呢？（3）能否求出全过程中通过导体某个横截面的电量？
解析（1）加速度越来越小的减速运动.
（2）取某一微元过程，设速度为v，由牛顿第二定律和运动学公式得
B2l2vR=ma，Δv=aΔt.
全程累加：0-v0=-∑B2l2vmRΔt，
0-v0=-B2l2mR∑vΔt （把定值提取出来），
0-v0=-B2l2mRx，
解得x=mv0RB2L2.
（3）法一：q=ΔΦR=BLxR=BLR·mv0RB2L2=mv0BL.
法二：取某一微小过程，设速度为v，电流为I，
BIl=mΔvΔt，
BlIΔt=mΔv，
全程累加：
∑BlIΔt=∑mΔv，
Bl∑IΔt=m∑Δv，
Blq=mv0，
解得q=mv0Bl.
点评在电磁感应问题中，由于感应电流的安培力与速度有关，一般安培力为变力，常遇到非匀变速运动求位移，时间，电量等问题，灵活运用微元的思想，在某个微元过程内优先选用牛顿第二定律和运动学公式，再对全程进行累加.
变式训练：如图8，竖直放置的光滑U形导轨宽为L，上端串有一个电容，电容为C，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向里.金属棒ab的质量为m，与导轨接触良好，不计摩擦及各部分电阻，由静止开始释放，试通过计算说明金属棒的运动情况.解析： 粗略讲金属棒做加速运动.由于物体的运动规律由初速度和加速度共同决定.所以要确定金属棒运动的加速度，由牛顿第二定律得： .这种情况下，由于不能欧姆定律直接求电容器不断变化的充电电流，微元思想就能解决这样的问题.由电流的定义： 由电容器的电容的定义式：q=CU ，那么 联立得： 代入牛顿第二定律的表达式： ，解得： 可见金属棒的加速度恒定，即金属棒作初速度为零的匀加速直线运动.例3.如图9，一个均匀的带点圆环，带电量为Q，半径为R，圆心为O点.通过O点作垂直于圆环面的直线，在此线上取一点P，P到O的距离为R，则带点圆环在P点处产生的电场强度有多大？方向怎样？解析：微元：在圆环直径的两端对称地取两段微元研究，设其电量均为Δq，它们在P点处的场强的合场强 累加： 方向：沿OP连线向外点评：本题为研究对象的微元. 3.结束语:利用微元思想可以把一个比较复杂的物理问题运用我们所熟悉的物理规律加以方便有效的解决，可以把复杂问题简单化.有利于拓展学生的视野，引导学生对物理规律向更深更广的角度思考，这样可以很好的发展学生的思维能力，培养学生的独创精神. |
